⬅ Rotation eines Würfels mit Matrizen

📄
Written @Wed May 27 11:21:22 2026

Rotation eines Würfels mit Matrizen

1. Der Würfel im Raum

Ein Würfel im Ursprung des Koordinatensystems (Mittelpunkt bei ( (0,0,0) )) und der Kantenlänge 2 besitzt die Eckpunkte:

$$ \begin{aligned} A &= (1, 1, 1), & B &= (1, 1, -1), & C &= (1, -1, 1), \\ D &= (1, -1, -1), & E &= (-1, 1, 1), & F &= (-1, 1, -1), \\ G &= (-1, -1, 1), & H &= (-1, -1, -1) \end{aligned} $$

Jeder Punkt kann als Spaltenvektor dargestellt werden:

$$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. $$

Eine Drehung des Würfels im Raum kann mathematisch durch Multiplikation mit einer Rotationsmatrix beschrieben werden.

2. Rotationsmatrizen im 3D-Raum

Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung um eine bestimmte Achse. Dabei bleibt die Länge der Vektoren unverändert, ebenso die Winkel zwischen ihnen. Es gibt drei elementare Rotationen: um die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse.

a) Rotation um die x-Achse

$$ \mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \cos\theta - z \sin\theta \\ y \sin\theta + z \cos\theta \end{pmatrix} $$

Die x-Koordinate bleibt bei dieser Drehung unverändert. Der Punkt

$$ \mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \cos\theta - z \sin\theta \\ y \sin\theta + z \cos\theta \end{pmatrix} $$

b) Rotation um die y-Achse

$$ R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} $$

Dabei bleibt die y-Koordinate gleich, x und z verändern sich.

$$ \mathbf{v}' = R_y(\theta)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \cos\theta + z \sin\theta \\ y \\ - x \sin\theta + z \cos\theta \end{pmatrix} $$

c) Rotation um die z-Achse

$$ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Hier bleibt z unverändert, während x und y rotieren.

$$ \mathbf{v}' = R_z(\theta)\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \cos\theta - y \sin\theta \\ x \sin\theta + y \cos\theta \\ z \end{pmatrix} $$

3. Kombination mehrerer Rotationen

Oft wird ein Objekt nacheinander um mehrere Achsen gedreht. Die Gesamtrotation ergibt sich durch Multiplikation der einzelnen Rotationsmatrizen.

Beispiel:

$$ R_{\text{gesamt}} = R_x(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\gamma). $$

Ein Punkt \(v\) wird dann abgebildet auf:

$$ \mathbf{v}' = R_{\text{gesamt}}\mathbf{v}. $$

Die Reihenfolge ist dabei wesentlich, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist:

$$ R_x R_y \neq R_y R_x. $$

Das bedeutet: Zuerst um die x-Achse und danach um die y-Achse zu drehen führt zu einem anderen Ergebnis, als die Reihenfolge umzukehren.

4. Matrixmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen (A) und (B) (jeweils 3×3) ergibt eine neue Matrix (C = A \cdot B) mit den Einträgen:

$$ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j}. $$

Allgemein gilt:

So kann man Schritt für Schritt die Gesamtrotationsmatrix berechnen.

5. Beispiel für (\(\theta = 45^\circ\))

Für den Winkel \(\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\) gilt:

$$ \cos\theta = \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Damit lautet die Rotationsmatrix um die x-Achse:

$$ R_x(45^\circ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} $$

Wendet man diese Matrix auf den Punkt \(\mathbf{A} = (1, 1, 1)\) an, ergibt sich:

$$ \begin{aligned} x' &= 1, \\ y' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 0, \\ z' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. \end{aligned} $$

Der neue Punkt ist also:

$$ \mathbf{A}' = (1, 0, \sqrt{2}). $$

Der Punkt wurde damit um die x-Achse um 45° gedreht.

6. Zusammenfassung