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summary: "Würfelrotation mit Matrizen die Multipliziert werden erkläret"
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# Rotation eines Würfels um die x-Achse
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# Rotation eines Würfels mit Matrizen
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Wir wollen verstehen, wie man einen Würfel im Raum um die x-Achse dreht.
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## 1. Der Würfel im Raum
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## 1. Punkte eines Würfels
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Ein Würfel hat 8 Eckpunkte. Wenn wir den Würfel in der Mitte des Koordinatensystems platzieren, können wir die Punkte als Vektoren schreiben:
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Ein Würfel im Ursprung des Koordinatensystems (Mittelpunkt bei ( (0,0,0) )) und der Kantenlänge 2 besitzt die Eckpunkte:
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$$
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\mathbf{A} = (1, 1, 1), \quad
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\mathbf{B} = (1, 1, -1), \quad
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\mathbf{C} = (1, -1, 1), \quad
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\mathbf{D} = (1, -1, -1)
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\begin{aligned}
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A &= (1, 1, 1), & B &= (1, 1, -1), & C &= (1, -1, 1), \\
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D &= (1, -1, -1), & E &= (-1, 1, 1), & F &= (-1, 1, -1), \\
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G &= (-1, -1, 1), & H &= (-1, -1, -1)
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\end{aligned}
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$$
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Jeder Punkt kann als Spaltenvektor dargestellt werden:
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$$
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\mathbf{E} = (-1, 1, 1), \quad
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\mathbf{F} = (-1, 1, -1), \quad
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\mathbf{G} = (-1, -1, 1), \quad
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\mathbf{H} = (-1, -1, -1)
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$$
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Jeder Punkt hat drei Koordinaten
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$$
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(x', y', z')
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$$
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## 2. Rotationsmatrix um die x-Achse
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Wenn wir einen Punkt
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$$
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\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
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$$
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um die x-Achse um einen Winkel $\theta$ drehen wollen, benutzen wir die Rotationsmatrix:
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$$
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R_x(\theta) =
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\mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
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0 & \sin\theta & \cos\theta
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\end{pmatrix}
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$$
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**Hinweis:**
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- Die x-Koordinate bleibt gleich, weil wir um die x-Achse drehen.
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- y und z verändern sich je nach Winkel $\theta$.
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## 3. Berechnung des neuen Punktes
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Der neue Punkt $\mathbf{v}'$ nach der Drehung ist:
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x \\
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y \\
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z
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\end{pmatrix}.
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$$
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\mathbf{v}' = R_x(\theta) \mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
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0 & \sin\theta & \cos\theta
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
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Eine Drehung des Würfels im Raum kann mathematisch durch **Multiplikation mit einer Rotationsmatrix** beschrieben werden.
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## 2. Rotationsmatrizen im 3D-Raum
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Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung um eine bestimmte Achse. Dabei bleibt die Länge der Vektoren unverändert, ebenso die Winkel zwischen ihnen.
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Es gibt drei elementare Rotationen: um die **x-Achse**, die **y-Achse** und die **z-Achse**.
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### a) Rotation um die x-Achse
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$$
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\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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x \\
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y \cos\theta - z \sin\theta \\
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||||
y \sin\theta + z \cos\theta
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\end{pmatrix}
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$$
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## 4. Beispiel
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Drehen wir den Punkt
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$$
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\mathbf{A} = (1,1,1)
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$$
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um
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Die x-Koordinate bleibt bei dieser Drehung unverändert. Der Punkt
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$$
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\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}
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$$
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Dann gilt:
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$$
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\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = 1
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$$
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$$
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\mathbf{A}' =
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\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\
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||||
1 \cdot 1 + 1 \cdot 0
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\end{pmatrix} =
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x \\
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||||
y \cos\theta - z \sin\theta \\
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||||
y \sin\theta + z \cos\theta
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\end{pmatrix}
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$$
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### b) Rotation um die y-Achse
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$$
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R_y(\theta) =
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\begin{pmatrix}
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1 \\ -1 \\ 1
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\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
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||||
0 & 1 & 0 \\
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||||
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
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||||
\end{pmatrix}
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$$
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## 5. Tabelle aller Punkte nach Rotation
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Dabei bleibt die y-Koordinate gleich, x und z verändern sich.
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$$
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\begin{array}{c|c}
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\text{Originalpunkt} & \text{Punkt nach Rotation} \\
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\hline
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A (1,1,1) & (1,-1,1) \\
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B (1,1,-1) & (1,-1,-1) \\
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C (1,-1,1) & (1,-1,-1) \\
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D (1,-1,-1) & (1,1,-1) \\
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||||
E (-1,1,1) & (-1,-1,1) \\
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||||
F (-1,1,-1) & (-1,-1,-1) \\
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||||
G (-1,-1,1) & (-1,1,1) \\
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||||
H (-1,-1,-1) & (-1,1,-1) \\
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||||
\end{array}
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\mathbf{v}' = R_y(\theta)\mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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x \cos\theta + z \sin\theta \\
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y \\
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||||
- x \sin\theta + z \cos\theta
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\end{pmatrix}
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$$
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## Fazit
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- x bleibt unverändert
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- y und z ändern sich je nach Winkel
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- Rotationsmatrizen sind ein mächtiges Werkzeug, um Objekte im 3D-Raum zu bewegen
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### c) Rotation um die z-Achse
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$$
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R_z(\theta) =
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\begin{pmatrix}
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\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
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||||
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
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0 & 0 & 1
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\end{pmatrix}
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$$
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Hier bleibt z unverändert, während x und y rotieren.
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$$
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\mathbf{v}' = R_z(\theta)\mathbf{v} =
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\begin{pmatrix}
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||||
x \cos\theta - y \sin\theta \\
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||||
x \sin\theta + y \cos\theta \\
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||||
z
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||||
\end{pmatrix}
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$$
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## 3. Kombination mehrerer Rotationen
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Oft wird ein Objekt nacheinander um mehrere Achsen gedreht.
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Die Gesamtrotation ergibt sich durch **Multiplikation der einzelnen Rotationsmatrizen**.
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Beispiel:
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$$
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R_{\text{gesamt}} = R_x(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\gamma).
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$$
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Ein Punkt $v$ wird dann abgebildet auf:
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$$
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\mathbf{v}' = R_{\text{gesamt}}\mathbf{v}.
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$$
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Die Reihenfolge ist dabei wesentlich, da die Matrixmultiplikation **nicht kommutativ** ist:
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$$
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R_x R_y \neq R_y R_x.
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$$
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Das bedeutet: Zuerst um die x-Achse und danach um die y-Achse zu drehen führt zu einem anderen Ergebnis, als die Reihenfolge umzukehren.
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## 4. Matrixmultiplikation
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Die Multiplikation zweier Matrizen (A) und (B) (jeweils 3×3) ergibt eine neue Matrix (C = A \cdot B) mit den Einträgen:
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$$
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c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j}.
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$$
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Allgemein gilt:
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* Jede Zeile von (A) wird mit jeder Spalte von (B) multipliziert.
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* Die Summe dieser Produkte ergibt das jeweilige Element von (C).
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So kann man Schritt für Schritt die Gesamtrotationsmatrix berechnen.
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## 5. Beispiel für ($\theta = 45^\circ$)
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Für den Winkel $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ gilt:
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$$
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\cos\theta = \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}.
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$$
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Damit lautet die Rotationsmatrix um die x-Achse:
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$$
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R_x(45^\circ) =
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\begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\
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0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2}
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||||
\end{pmatrix}
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$$
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Wendet man diese Matrix auf den Punkt $\mathbf{A} = (1, 1, 1)$ an, ergibt sich:
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$$
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\begin{aligned}
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x' &= 1, \\
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y' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 0, \\
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z' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
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\end{aligned}
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$$
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Der neue Punkt ist also:
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$$
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\mathbf{A}' = (1, 0, \sqrt{2}).
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$$
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Der Punkt wurde damit um die x-Achse um 45° gedreht.
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## 6. Zusammenfassung
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* Eine **Rotationsmatrix** beschreibt eine Drehung im Raum.
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* Die Länge eines Vektors bleibt bei der Rotation unverändert.
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* Es gibt drei Grundmatrizen: $R_x(\theta)$, $R_y(\theta)$ und $R_z(\theta)$.
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* Durch **Multiplikation** kann man mehrere Drehungen kombinieren.
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* Die Reihenfolge der Rotationen ist **nicht vertauschbar**.
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* Bei $45^\circ$ erscheinen häufig die Werte $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\frac{1}{2}$.
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