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+ Rotation eines Würfels mit Matrizen
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Rotation eines Würfels mit Matrizen
+1. Der Würfel im Raum
+Ein Würfel im Ursprung des Koordinatensystems (Mittelpunkt bei ( (0,0,0) )) und der Kantenlänge 2 besitzt die Eckpunkte:
+ +Jeder Punkt kann als Spaltenvektor dargestellt werden:
+ +Eine Drehung des Würfels im Raum kann mathematisch durch Multiplikation mit einer Rotationsmatrix beschrieben werden.
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2. Rotationsmatrizen im 3D-Raum
+Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung um eine bestimmte Achse. Dabei bleibt die Länge der Vektoren unverändert, ebenso die Winkel zwischen ihnen. +Es gibt drei elementare Rotationen: um die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse.
++
a) Rotation um die x-Achse
+ +Die x-Koordinate bleibt bei dieser Drehung unverändert. Der Punkt
+ ++
b) Rotation um die y-Achse
+ +Dabei bleibt die y-Koordinate gleich, x und z verändern sich.
+ ++
c) Rotation um die z-Achse
+ +Hier bleibt z unverändert, während x und y rotieren.
+ ++
3. Kombination mehrerer Rotationen
+Oft wird ein Objekt nacheinander um mehrere Achsen gedreht. +Die Gesamtrotation ergibt sich durch Multiplikation der einzelnen Rotationsmatrizen.
+Beispiel:
+ +Ein Punkt \(v\) wird dann abgebildet auf:
+ +Die Reihenfolge ist dabei wesentlich, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist:
+ +Das bedeutet: Zuerst um die x-Achse und danach um die y-Achse zu drehen führt zu einem anderen Ergebnis, als die Reihenfolge umzukehren.
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4. Matrixmultiplikation
+Die Multiplikation zweier Matrizen (A) und (B) (jeweils 3×3) ergibt eine neue Matrix (C = A \cdot B) mit den Einträgen:
+ +Allgemein gilt:
+-
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- Jede Zeile von (A) wird mit jeder Spalte von (B) multipliziert. +
- Die Summe dieser Produkte ergibt das jeweilige Element von (C). +
So kann man Schritt für Schritt die Gesamtrotationsmatrix berechnen.
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5. Beispiel für (\(\theta = 45^\circ\))
+Für den Winkel \(\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\) gilt:
+ +Damit lautet die Rotationsmatrix um die x-Achse:
+ +Wendet man diese Matrix auf den Punkt \(\mathbf{A} = (1, 1, 1)\) an, ergibt sich:
+ +Der neue Punkt ist also:
+ +Der Punkt wurde damit um die x-Achse um 45° gedreht.
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6. Zusammenfassung
+-
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- Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung im Raum. +
- Die Länge eines Vektors bleibt bei der Rotation unverändert. +
- Es gibt drei Grundmatrizen: \(R_x(\theta)\), \(R_y(\theta)\) und \(R_z(\theta)\). +
- Durch Multiplikation kann man mehrere Drehungen kombinieren. +
- Die Reihenfolge der Rotationen ist nicht vertauschbar. +
- Bei \(45^\circ\) erscheinen häufig die Werte \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\frac{1}{2}\). +