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summary: "Würfelrotation mit Matrizen die Multipliziert werden erkläret"
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# Rotation eines Würfels um die x-Achse

Wir wollen verstehen, wie man einen Würfel im Raum um die x-Achse dreht.

## 1. Punkte eines Würfels

Ein Würfel hat 8 Eckpunkte. Wenn wir den Würfel in der Mitte des Koordinatensystems platzieren, können wir die Punkte als Vektoren schreiben:

$$
\mathbf{A} = (1, 1, 1), \quad
\mathbf{B} = (1, 1, -1), \quad
\mathbf{C} = (1, -1, 1), \quad
\mathbf{D} = (1, -1, -1)
$$

$$
\mathbf{E} = (-1, 1, 1), \quad
\mathbf{F} = (-1, 1, -1), \quad
\mathbf{G} = (-1, -1, 1), \quad
\mathbf{H} = (-1, -1, -1)
$$

Jeder Punkt hat drei Koordinaten 
$$
(x', y', z')
$$

## 2. Rotationsmatrix um die x-Achse

Wenn wir einen Punkt

$$
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
$$

um die x-Achse um einen Winkel $\theta$ drehen wollen, benutzen wir die Rotationsmatrix:

$$
R_x(\theta) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
$$

**Hinweis:**  
- Die x-Koordinate bleibt gleich, weil wir um die x-Achse drehen.  
- y und z verändern sich je nach Winkel $\theta$.

## 3. Berechnung des neuen Punktes

Der neue Punkt $\mathbf{v}'$ nach der Drehung ist:

$$
\mathbf{v}' = R_x(\theta) \mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}
$$

## 4. Beispiel

Drehen wir den Punkt

$$
\mathbf{A} = (1,1,1)
$$

um

$$
\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}
$$

Dann gilt:

$$
\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = 1
$$

$$
\mathbf{A}' = 
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\
1 \cdot 1 + 1 \cdot 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}
$$

## 5. Tabelle aller Punkte nach Rotation

$$
\begin{array}{c|c}
\text{Originalpunkt} & \text{Punkt nach Rotation} \\
\hline
A (1,1,1) & (1,-1,1) \\
B (1,1,-1) & (1,-1,-1) \\
C (1,-1,1) & (1,-1,-1) \\
D (1,-1,-1) & (1,1,-1) \\
E (-1,1,1) & (-1,-1,1) \\
F (-1,1,-1) & (-1,-1,-1) \\
G (-1,-1,1) & (-1,1,1) \\
H (-1,-1,-1) & (-1,1,-1) \\
\end{array}
$$

## Fazit

- x bleibt unverändert  
- y und z ändern sich je nach Winkel  
- Rotationsmatrizen sind ein mächtiges Werkzeug, um Objekte im 3D-Raum zu bewegen