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markdown/Rotation.md

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+summary: "Würfelrotation mit Matrizen die Multipliziert werden erkläret"
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+
+# Rotation eines Würfels um die x-Achse
+
+Wir wollen verstehen, wie man einen Würfel im Raum um die x-Achse dreht.
+
+## 1. Punkte eines Würfels
+
+Ein Würfel hat 8 Eckpunkte. Wenn wir den Würfel in der Mitte des Koordinatensystems platzieren, können wir die Punkte als Vektoren schreiben:
+
+$$
+\mathbf{A} = (1, 1, 1), \quad
+\mathbf{B} = (1, 1, -1), \quad
+\mathbf{C} = (1, -1, 1), \quad
+\mathbf{D} = (1, -1, -1)
+$$
+
+$$
+\mathbf{E} = (-1, 1, 1), \quad
+\mathbf{F} = (-1, 1, -1), \quad
+\mathbf{G} = (-1, -1, 1), \quad
+\mathbf{H} = (-1, -1, -1)
+$$
+
+Jeder Punkt hat drei Koordinaten 
+$$
+(x', y', z')
+$$
+
+## 2. Rotationsmatrix um die x-Achse
+
+Wenn wir einen Punkt
+
+$$
+\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
+$$
+
+um die x-Achse um einen Winkel $\theta$ drehen wollen, benutzen wir die Rotationsmatrix:
+
+$$
+R_x(\theta) =
+\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
+0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
+0 & \sin\theta & \cos\theta
+\end{pmatrix}
+$$
+
+**Hinweis:**  
+- Die x-Koordinate bleibt gleich, weil wir um die x-Achse drehen.  
+- y und z verändern sich je nach Winkel $\theta$.
+
+## 3. Berechnung des neuen Punktes
+
+Der neue Punkt $\mathbf{v}'$ nach der Drehung ist:
+
+$$
+\mathbf{v}' = R_x(\theta) \mathbf{v} =
+\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
+0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
+0 & \sin\theta & \cos\theta
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+x \\
+y \cos\theta - z \sin\theta \\
+y \sin\theta + z \cos\theta
+\end{pmatrix}
+$$
+
+## 4. Beispiel
+
+Drehen wir den Punkt
+
+$$
+\mathbf{A} = (1,1,1)
+$$
+
+um
+
+$$
+\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}
+$$
+
+Dann gilt:
+
+$$
+\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = 1
+$$
+
+$$
+\mathbf{A}' = 
+\begin{pmatrix}
+1 \\
+1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\
+1 \cdot 1 + 1 \cdot 0
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+1 \\ -1 \\ 1
+\end{pmatrix}
+$$
+
+## 5. Tabelle aller Punkte nach Rotation
+
+$$
+\begin{array}{c|c}
+\text{Originalpunkt} & \text{Punkt nach Rotation} \\
+\hline
+A (1,1,1) & (1,-1,1) \\
+B (1,1,-1) & (1,-1,-1) \\
+C (1,-1,1) & (1,-1,-1) \\
+D (1,-1,-1) & (1,1,-1) \\
+E (-1,1,1) & (-1,-1,1) \\
+F (-1,1,-1) & (-1,-1,-1) \\
+G (-1,-1,1) & (-1,1,1) \\
+H (-1,-1,-1) & (-1,1,-1) \\
+\end{array}
+$$
+
+## Fazit
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+- x bleibt unverändert  
+- y und z ändern sich je nach Winkel  
+- Rotationsmatrizen sind ein mächtiges Werkzeug, um Objekte im 3D-Raum zu bewegen
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