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Würfelrotation mit Matrizen die Multipliziert werden erkläret

Rotation eines Würfels um die x-Achse

Wir wollen verstehen, wie man einen Würfel im Raum um die x-Achse dreht.

1. Punkte eines Würfels

Ein Würfel hat 8 Eckpunkte. Wenn wir den Würfel in der Mitte des Koordinatensystems platzieren, können wir die Punkte als Vektoren schreiben:

\mathbf{A} = (1, 1, 1), \quad
\mathbf{B} = (1, 1, -1), \quad
\mathbf{C} = (1, -1, 1), \quad
\mathbf{D} = (1, -1, -1)

\mathbf{E} = (-1, 1, 1), \quad
\mathbf{F} = (-1, 1, -1), \quad
\mathbf{G} = (-1, -1, 1), \quad
\mathbf{H} = (-1, -1, -1)

Jeder Punkt hat drei Koordinaten

(x', y', z')

2. Rotationsmatrix um die x-Achse

Wenn wir einen Punkt

\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

um die x-Achse um einen Winkel \theta drehen wollen, benutzen wir die Rotationsmatrix:

R_x(\theta) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}

Hinweis:

• Die x-Koordinate bleibt gleich, weil wir um die x-Achse drehen.
• y und z verändern sich je nach Winkel \theta.

3. Berechnung des neuen Punktes

Der neue Punkt \mathbf{v}' nach der Drehung ist:

\mathbf{v}' = R_x(\theta) \mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}

4. Beispiel

Drehen wir den Punkt

\mathbf{A} = (1,1,1)

um

\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}

Dann gilt:

\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = 1

\mathbf{A}' = 
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\
1 \cdot 1 + 1 \cdot 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}

5. Tabelle aller Punkte nach Rotation

\begin{array}{c|c}
\text{Originalpunkt} & \text{Punkt nach Rotation} \\
\hline
A (1,1,1) & (1,-1,1) \\
B (1,1,-1) & (1,-1,-1) \\
C (1,-1,1) & (1,-1,-1) \\
D (1,-1,-1) & (1,1,-1) \\
E (-1,1,1) & (-1,-1,1) \\
F (-1,1,-1) & (-1,-1,-1) \\
G (-1,-1,1) & (-1,1,1) \\
H (-1,-1,-1) & (-1,1,-1) \\
\end{array}

Fazit

• x bleibt unverändert
• y und z ändern sich je nach Winkel
• Rotationsmatrizen sind ein mächtiges Werkzeug, um Objekte im 3D-Raum zu bewegen