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summary

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Würfelrotation mit Matrizen die Multipliziert werden erkläret

Rotation eines Würfels mit Matrizen

1. Der Würfel im Raum

Ein Würfel im Ursprung des Koordinatensystems (Mittelpunkt bei ( (0,0,0) )) und der Kantenlänge 2 besitzt die Eckpunkte:

\begin{aligned}
A &= (1, 1, 1), & B &= (1, 1, -1), & C &= (1, -1, 1), \\
D &= (1, -1, -1), & E &= (-1, 1, 1), & F &= (-1, 1, -1), \\
G &= (-1, -1, 1), & H &= (-1, -1, -1)
\end{aligned}

Jeder Punkt kann als Spaltenvektor dargestellt werden:

\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}.

Eine Drehung des Würfels im Raum kann mathematisch durch Multiplikation mit einer Rotationsmatrix beschrieben werden.

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2. Rotationsmatrizen im 3D-Raum

Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung um eine bestimmte Achse. Dabei bleibt die Länge der Vektoren unverändert, ebenso die Winkel zwischen ihnen. Es gibt drei elementare Rotationen: um die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse.

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a) Rotation um die x-Achse

\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}

Die x-Koordinate bleibt bei dieser Drehung unverändert. Der Punkt

\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}

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b) Rotation um die y-Achse

R_y(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{pmatrix}

Dabei bleibt die y-Koordinate gleich, x und z verändern sich.

\mathbf{v}' = R_y(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \cos\theta + z \sin\theta \\
y \\
- x \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}

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c) Rotation um die z-Achse

R_z(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Hier bleibt z unverändert, während x und y rotieren.

\mathbf{v}' = R_z(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \cos\theta - y \sin\theta \\
x \sin\theta + y \cos\theta \\
z
\end{pmatrix}

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3. Kombination mehrerer Rotationen

Oft wird ein Objekt nacheinander um mehrere Achsen gedreht. Die Gesamtrotation ergibt sich durch Multiplikation der einzelnen Rotationsmatrizen.

Beispiel:

R_{\text{gesamt}} = R_x(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\gamma).

Ein Punkt v wird dann abgebildet auf:

\mathbf{v}' = R_{\text{gesamt}}\mathbf{v}.

Die Reihenfolge ist dabei wesentlich, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist:

R_x R_y \neq R_y R_x.

Das bedeutet: Zuerst um die x-Achse und danach um die y-Achse zu drehen führt zu einem anderen Ergebnis, als die Reihenfolge umzukehren.

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4. Matrixmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen (A) und (B) (jeweils 3×3) ergibt eine neue Matrix (C = A \cdot B) mit den Einträgen:

c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j}.

Allgemein gilt:

• Jede Zeile von (A) wird mit jeder Spalte von (B) multipliziert.
• Die Summe dieser Produkte ergibt das jeweilige Element von (C).

So kann man Schritt für Schritt die Gesamtrotationsmatrix berechnen.

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5. Beispiel für (\theta = 45^\circ)

Für den Winkel \theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} gilt:

\cos\theta = \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Damit lautet die Rotationsmatrix um die x-Achse:

R_x(45^\circ) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\
0 & \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{pmatrix}

Wendet man diese Matrix auf den Punkt \mathbf{A} = (1, 1, 1) an, ergibt sich:

\begin{aligned}
x' &= 1, \\
y' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = 0, \\
z' &= 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
\end{aligned}

Der neue Punkt ist also:

\mathbf{A}' = (1, 0, \sqrt{2}).

Der Punkt wurde damit um die x-Achse um 45° gedreht.

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6. Zusammenfassung

• Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung im Raum.
• Die Länge eines Vektors bleibt bei der Rotation unverändert.
• Es gibt drei Grundmatrizen: R_x(\theta), R_y(\theta) und R_z(\theta).
• Durch Multiplikation kann man mehrere Drehungen kombinieren.
• Die Reihenfolge der Rotationen ist nicht vertauschbar.
• Bei 45^\circ erscheinen häufig die Werte \frac{\sqrt{2}}{2} und \frac{1}{2}.

def hello() -> str:
    return "Hello"