<p>Ein Würfel im Ursprung des Koordinatensystems (Mittelpunkt bei ( (0,0,0) )) und der Kantenlänge 2 besitzt die Eckpunkte:</p>
<divclass="math-block">$$
\begin{aligned}
A &= (1, 1, 1), & B &= (1, 1, -1), & C &= (1, -1, 1), \\
D &= (1, -1, -1), & E &= (-1, 1, 1), & F &= (-1, 1, -1), \\
G &= (-1, -1, 1), & H &= (-1, -1, -1)
\end{aligned}
$$</div>
<p>Jeder Punkt kann als Spaltenvektor dargestellt werden:</p>
<divclass="math-block">$$
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}.
$$</div>
<p>Eine Drehung des Würfels im Raum kann mathematisch durch <strong>Multiplikation mit einer Rotationsmatrix</strong> beschrieben werden.</p>
<hr/>
<h2>2. Rotationsmatrizen im 3D-Raum</h2>
<p>Eine Rotationsmatrix beschreibt eine Drehung um eine bestimmte Achse. Dabei bleibt die Länge der Vektoren unverändert, ebenso die Winkel zwischen ihnen.
Es gibt drei elementare Rotationen: um die <strong>x-Achse</strong>, die <strong>y-Achse</strong> und die <strong>z-Achse</strong>.</p>
<hr/>
<h3>a) Rotation um die x-Achse</h3>
<divclass="math-block">$$
\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}
$$</div>
<p>Die x-Koordinate bleibt bei dieser Drehung unverändert. Der Punkt</p>
<divclass="math-block">$$
\mathbf{v}' = R_x(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \cos\theta - z \sin\theta \\
y \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}
$$</div>
<hr/>
<h3>b) Rotation um die y-Achse</h3>
<divclass="math-block">$$
R_y(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{pmatrix}
$$</div>
<p>Dabei bleibt die y-Koordinate gleich, x und z verändern sich.</p>
<divclass="math-block">$$
\mathbf{v}' = R_y(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \cos\theta + z \sin\theta \\
y \\
- x \sin\theta + z \cos\theta
\end{pmatrix}
$$</div>
<hr/>
<h3>c) Rotation um die z-Achse</h3>
<divclass="math-block">$$
R_z(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$</div>
<p>Hier bleibt z unverändert, während x und y rotieren.</p>
<divclass="math-block">$$
\mathbf{v}' = R_z(\theta)\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x \cos\theta - y \sin\theta \\
x \sin\theta + y \cos\theta \\
z
\end{pmatrix}
$$</div>
<hr/>
<h2>3. Kombination mehrerer Rotationen</h2>
<p>Oft wird ein Objekt nacheinander um mehrere Achsen gedreht.
Die Gesamtrotation ergibt sich durch <strong>Multiplikation der einzelnen Rotationsmatrizen</strong>.</p>
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@@ -460,7 +460,7 @@ class WebServerHTTPRequestHandler(BaseHTTPRequestHandler):
# Handle root/index with caching
ifreq_path==""orreq_path=="index.html":
content=build_index_page()
content=build_index_page(True)
self._send_compressed_response(
content.encode("utf-8"),
"text/html",
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